Question

如图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于点A、B，O₁在⊙O₂上，AC是⊙O₁的直径，连接CB并延长，与⊙O₂相交于点D，连结AD．
（1）求证：AD是⊙O₂的直径．
（2）求证：DA=DC．

Answer 1

考点：相交两圆的性质

专题：证明题

分析：（1）首先连接AB，由AC是⊙O₁的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABC=90°，又由90°的圆周角所对的弦是直径，即可证得AD是⊙O₂的直径；
（2）连结O₁O₂，根据三角形的中位线定理证得O₁O₂∥CD从而证得∠C=∠AO₁O₂，根据等边对等角求得∴∠O₂AO₁=∠AO₁O₂，进而求得∠C=∠O₁AO₂，即可证得结论．

解答：证明：（1）连结AB
∵AC是⊙O₁的直径
∴∠ABC=90°
∴∠ABD=90°，AD是⊙O₂的直径
（2）连结O₁O₂
∵AO₁=O₁C，AO₂=O₂D，
∴O₁O₂∥CD
∴∠C=∠AO₁O₂
又∵O₂A=O₁O₂
∴∠O₂AO₁=∠AO₁O₂
∴DA=DC．

点评：此题考查了圆周角定理以及三角形中位线线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．