Question

6．如图，CD是圆O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P．
（1）求证：PC²=PA•PB；
（2）PA=6，PC=3，求圆O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC，结合条件和垂径定理可证明△APC∽△CPB，利用相似三角形的性质可证得PC²=PA•PB；
（2）把PA、PC的长代入（1）中的结论，可求得PB，则可求得AB的长．

解答 （1）证明：
如图，连接AC、BC，

∵CD⊥AB，AB是直径，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠CAB=∠BCP，
∵∠CPA=∠CPB=90°，
∴△APC∽△CPB，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PC}{PB}$，即PC²=PA•PB；
（2）解：
将PA=6，PC=3，代入PC²=PA•PB，可得3²=6PB，
∴PB=1.5，
∴AB=PA+PB=6+1.5=7.5，
即圆的直径为7.5．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质及垂径定理，利用条件构造三角形相似是解题的关键．