Question

在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，求代数式m³n-2m²n+3mn-4n的值；
（3）若反比例函数y=

k

x

的图象与二次函数y=a（x-1）²的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,代数式求值,反比例函数与一次函数的交点问题,二次函数的性质

专题：综合题,数形结合,分类讨论

分析：（1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；
（2）将点B的坐标代入y=（x-1）²得到n=m²-2m+1，先将代数式变形为mm（m²-2m+1）+3mm-4n，然后只需将m²-2m+1用n代替，即可解决问题；
（3）可先求出直线y=x与反比例函数y=

4

x

交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（1，4）、B（m，n），
∴k=mn=1×4=4，
即代数式mn的值为4；

（2）∵二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，
∴n=（m-1）²=m²-2m+1，
∴m³n-2m²n+3mn-4n=m³n-2m²n+mn+3mm-4n
=mm（m²-2m+1）+3mm-4n
=4n+3×4-4n
=12，
即代数式m³n-2m²n+3mn-4n的值为12；

（3）设直线y=x与反比例函数y=

4

x

交点分别为C、D，
解

y=x y= 4 x

，得：

x1=-2 y1=-2

或

x2=2 y2=2

，
∴点C（-2，-2），点D（2，2）．
①若a＞0，如图1，

当抛物线y=a（x-1）²经过点D时，
有a（2-1）²=2，
解得：a=2．
∵|a|越大，抛物线y=a（x-1）²的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；
②若a＜0，如图2，

当抛物线y=a（x-1）²经过点C时，
有a（-2-1）²=-2，
解得：a=-

2

9

．
∵|a|越大，抛物线y=a（x-1）²的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜-

2

9

．
综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜-

2

9

．

点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．