图1中.二次函数y=-ax2-4ax-$\frac{3}{4}$的图象c交x轴于A.B两点.过A点的直线$y=kx+3k$交c于另一点C(x1.y1).交y轴于M．(1)求点A的坐标.并求二次函数的解析式,(2)过点B作BD⊥AC交AC于D.若M且Q点是直线AC上的一个动点．求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标,.图2中连CP交二次函数的图象于另一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．图1中，二次函数y=-ax²-4ax-$\frac{3}{4}$的图象c交x轴于A，B两点（A在B的左侧），过A点的直线$y=kx+3k（k＜-\frac{1}{4}）$交c于另一点C（x₁，y₁），交y轴于M．
（1）求点A的坐标，并求二次函数的解析式；
（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，-3$\sqrt{3}$）且Q点是直线AC上的一个动点．求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标；
（3）设P（-1，2），图2中连CP交二次函数的图象于另一点E（x₂，y₂），连AE交y轴于N．OM•ON是否是一个定值？如果是定值，求出该值；若不是，请说明理由．

分析（1）由直线y=kx+3k求出点A坐标，代入抛物线解析式即可解决问题．
（2）分四种情形讨论①如图1中，当Q在DA的延长线上时，∠BQD=30°，△BQD～△AOM，②当Q与点A重合时，∠BQD=60°△DQB～△OAM，③如图2中，当Q在线段DC上时，∠BQD=60°，△DQB～△OAM，④如图3中，当∠BQD=30°时，△DQB～△OMA分别解直角三角形即可．
（3）求出直线PC的解析式，与抛物线组成方程组求出点E坐标，再求出直线AE后求出点N坐标，用k表示OM、ON即可解决问题．

解答（1）解：y=0，kx+3k=0解之得x=-3，所以A（-3，0），
因为A（-3，0）在y=-ax²-4ax-$\frac{3}{4}$，所以0=-9a+12a-$\frac{3}{4}$，
解之可得a=$\frac{1}{4}$，
所以该二次函数的表达式y=-$\frac{1}{4}$x²-x-$\frac{3}{4}$，
（2）在Rt△AOM中，OA=3，OM=3$\sqrt{3}$tan∠OAM=$\frac{OM}{AO}$=$\sqrt{3}$，所以∠OAM=60°，
①如图1中，当Q在DA的延长线上时，∠BQD=30°，△BQD∽△AOM，
在Rt△ABD中，BD=BA×sin60°=$\sqrt{3}$，
在Rt△BQD中，BD=OQ×sin30°=$\sqrt{3}$，解得BQ=2$\sqrt{3}$，
过Q作在QQ′⊥x轴垂足为Q′，
∵∠BAD=60°=∠BQA+∠QBA，∠BQD=30°，
∴∠QBQ′=30°，
在RT△BQQ′中，∵∠QBQ′=30°，BQ=2$\sqrt{3}$，
QQ′=$\sqrt{3}$，BQ′=3，
所以Q（-4，$\sqrt{3}$）．
②当Q与点A重合时，∠BQD=60°△DQB∽△OAM，此点Q（-3，0）．
③如图2中，当Q在线段DC上时，∠BQD=60°，△DQB∽△OAM，
在△AQB中，∠BAQ=∠AQB=60°，
得BQ=AB=2，
所以Q（-2，-$\sqrt{3}$）．
④如图3中，当∠BQD=30°时，△DQB∽△OMA，此时BQ∥OM
设Q（-1，y）在直线y=-$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$-上，解得y=-2$\sqrt{3}$，
从而Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．
综上所述，Q（-4，$\sqrt{3}$）或Q（-3，0）或Q（-2，-$\sqrt{3}$）或Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．
（3）如图4中，直线y=kx+3k与二次函数y=-$\frac{1}{4}$x²-x-$\frac{3}{4}$图象的交点是A，C两点，
所以$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}{x^2}-x-\frac{3}{4}\\ y=kx+3k\end{array}$，整理可得$\frac{1}{4}{x}^{2}$+（k+1）x+（$\frac{3}{4}$+3k）=0，
又因为A（-3，0），C（x₁，y₁），
所以x₁=-4k-1，y₁=-4k²+2k，
过点P（-1，2）与点C的直线：Y=$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$x+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$+2，
直线PC与抛物线的交点，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}x+\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}+2}\end{array}\right.$，消去y整理得到：
$\frac{1}{4}\\;{x}^{2}$x²+（1+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$）x+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}-\frac{5}{4}$=0，
∴x₂+x₁=x₂+（-4k-1）=-$\frac{1+\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}}{\frac{1}{4}}$，
∴x₂=-1-$\frac{2}{k}$，y₂=$\frac{1}{k}-\frac{1}{{k}^{2}}$，
∴直线AE为y=$\frac{1}{2k}$x+$\frac{3}{2k}$，
∴OM=-3k，ON=-$\frac{3}{2k}$，
∴OM•ON=（-3k）（-$\frac{3}{2k}$）=$\frac{9}{2}$．
∴OM•ON是定值，这个定值是$\frac{9}{2}$．