Question

8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（-1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4．
（1）求抛物线的表达式及a的值；
（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标可以得到对称轴方程为x=1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，-4），则易求该抛物线的解析式；
（2）通过图象可以看出点B纵坐标t的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=2x²+mx+n过点A（-1，a ），B（3，a），
∴抛物线的对称轴x=1．
∵抛物线最低点的纵坐标为-4，
∴抛物线的顶点是（1，-4）．
∴抛物线的表达式是y=2（x-1）²-4，
即y=2x²-4x-2．
把A（-1，a ）代入抛物线表达式，求出a=4；

（2）∵抛物线顶点C（1，-4）关于y轴的对称点为点D，
∴D（-1，-4）．
求出直线CD的表达式为y=-4．
求出直线BD的表达式为y=2x-2，当x=1时，y=0．
所以-4＜t≤0．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．