Question

如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S₁、S₂、S₃，现有如下结论：
①S₁：S₂=AC²：BC²；
②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，则S₁•S₂=

3

4

S₃²．
其中结论正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断；
②根据SAS即可求得全等；
③根据面积公式即可判断．

解答：①S₁：S₂=AC²：BC²正确，
解：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S₁：S₂=AC²：BC²．

②△BCD≌△ECA正确，
证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE与△DCB中，

AE=BD ∠ACE=∠DCB CE=BC

，
∴△BCD≌△ECA（SAS）．

③若AC⊥BC，则S₁•S₂=

3

4

S₃²正确，
解：设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高=

3

2

a，△BCE的高=

3

2

b，
∴S₁=

1

2

a•

3

2

a=

3

4

a²，S₂=

1

2

b•

3

2

b=

3

4

b²，
∴S₁•S₂=

3

4

a²•

3

4

b²=

3

16

a²b²，
∵S₃=

1

2

ab，
∴S₃²=

1

4

a²b²，
∴S₁•S₂=

3

4

S₃²．

点评：本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键．