Question

13．如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为$\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 如图设切点为E，作OF⊥PA于F，连接OE．直线l交PA于K，则四边形OEKF是矩形．设AK=PK=x，由OE=KF=4，推出AF=x-4，PF=x+4，由OF²=OA²-AF²=OP²-PF²，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图设切点为E，作OF⊥PA于F，连接OE．直线l交PA于K，则四边形OEKF是矩形．
设AK=PK=x，
∵OE=KF=4，
∴AF=x-4，PF=x+4，
∵OF²=OA²-AF²=OP²-PF²，
∴4²-（x-4）²=10²-（x+4）²，
∴x=$\frac{21}{4}$，
∴PA=2x=$\frac{21}{2}$，
故答案为$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．