Question

16．如图（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F．
（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；
（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求线段CE的长；
（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值4-$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （1）如图1中，MN是线段AD的中垂线，作FH⊥CD于H．设CE=EF=x，在Rt△EFH中，根据EF²=FH²+HE²，构建方程即可解决问题．
（2）如图2中，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x．在Rt△EFN中，根据EF²=FN²+NE²，构建方程即可解决问题．
（3）欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，由DG=AD•tan∠GAD，推出∠GAD最小时，DG的值最小，由BF=BC，BF是定值，推出当BF⊥AG时，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，当BF⊥AG时，易知点E与点G共点，设CG=GF=x，在Rt△ADE中，根据AD²+DG²=AG²，构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，MN是线段AD的中垂线，作FH⊥CD于H．

在Rt△BFM中，∵BF=BC=3，BM=$\frac{3}{2}$，
∴FM=CH=$\sqrt{B{F}^{2}-B{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，设CE=EF=x，
在Rt△EFH中，∵EF²=FH²+HE²，
∴x²=（$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴CE=$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x．

在Rt△BFM中，∵∠BMF=90°，BM=2，BF=BC=3，
∴MF=$\sqrt{B{F}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵MN=BC=3，
∴FN=3-$\sqrt{5}$，EN=2-x，
在Rt△EFN中，∵EF²=FN²+NE²，
∴x²=（3-$\sqrt{5}$）²+（2-x）²，
∴x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$．

（3）如图3中，

欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，
∵DG=AD•tan∠GAD，
∴∠GAD最小时，DG的值最小，
∵BF=BC，BF是定值，
∴当BF⊥AG时，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，
当BF⊥AG时，易知点E与点G共点，
设CG=GF=x，
在Rt△ABF中，∵∠AFB=90°，AB=4，BF=BC=3，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
在Rt△ADE中，∵AD²+DG²=AG²，
∴3²+（4-x）²=（$\sqrt{7}$+x）²，
∴x=4-$\sqrt{7}$．
∴CG的最大值为4-$\sqrt{7}$，
故答案为4-$\sqrt{7}$．

点评 本题考查四边形综合题、翻折变换、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．