Question

1．如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．若AE=3，CD=2，则⊙O的直径为5．

Answer 1

分析 利用切线的性质，易得OD∥AC，继而证明AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质定理可证得：CD=DF，AF=AC，进而证得△BDF≌△EDC，则BF=CE；根据AC=AF，BF=CE即可求解．

解答 解：连接DE，BD．
∵DC是圆的切线．
∴∠EDC=∠DAC，OD⊥直线l，
∵AC⊥直线l．
∴OD∥AC，
∴∠ADO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠DAC，
∴DF=CD=2，∠ADF=∠ADC，
∴AF=AC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA=CE：CD，
∴CD²=CE•CA，即4=CE（CE+3），
解得：CE=1，
∵DF⊥AB，AC⊥l于C，
∴∠BFD=∠DCE=90°，
在△BDF和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠DAC}\\{∠BFD=∠DCE}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△EDC（AAS），
∴FB=CE=1，
∴AB=BF+AF=BF+AC=1+AE+CE=1+3+1=5．
故答案为：5．

点评 此题考查了切线的性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．