Question

如图，⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交与A、B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长时方程x²-17x+60=0的两根．
（ 1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在劣弧

OA

上，连结BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在⊙M上是否存在一点P，使S_△POD=S_△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（4）点C在优弧

OA

上，作直线BC交x轴于D．是否存在△COB∽△CDO？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）利用因式分解法解方程x²-17x+60=0，即可得到OA=12，OB=5；
（2）连结AB、MC、AC，如图1，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径，根据勾股定理计算出AB=13，则MC=

13

2

，由于OC²=CD•CB，根据相似的判定定理得到△COD∽△CBO，则∠1=∠2，由同弧所对的圆周角相等得到∠2=∠3，所以∠1=∠3，则

OC

=

AC

，根据垂径定理的推论得到MC⊥OA，OH=AH=

1

2

OA=6，易得HM=

1

2

OB=

5

2

，所以CH=CM-HM=4，于是可得C点坐标为（6，-4）；
（3）先利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=-

3

2

x+5，再求出D点坐标为（

10

3

，0），则OD=

10

3

，AD=OA-OD=

26

3

，设P点坐标为（x，y），根据三角形面积公式得到

1

2

•

10

3

•|y|=

1

2

•

26

3

•5，解得y=13或-13，利用⊙M的直径为13，可判断⊙M上不存在点P，使其纵坐标为13；
（4）连结AC，CM的延长线交OA于H，如图2，由△COB∽△CDO得到∠4=∠5，利用等角的余角相等得到∠3=∠1，再根据圆内接四边形的性质得∠3=∠2，所以∠1=∠2，于是利用圆周角定理有

OC

=

AC

，然后根据垂径定理的推论得MC⊥OA，OH=AH=

1

2

OA=6，加上MH=

5

2

，所以CH=CM+MH=9，于是得到C点坐标为（6，9）．

解答：解：（1）x²-17x+60=0，
（x-12）（x-5）=0，
解得x₁=12，x₂=5，
所以OA=12，OB=5；
（2）连结AB、MC、AC，MC交OA于H，如图1，
∵∠ACOB=90°，
∴AB为⊙O的直径，AB=

OB2+OA2

=13，
∴MC=

13

2

，
∵OC²=CD•CB，即OC：CD=CB：OC，
而∠OCD=∠BCO，
∴△COD∽△CBO，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴

OC

=

AC

，
∴MC⊥OA，
∴OH=AH=

1

2

OA=6，
∴HM=

1

2

OB=

5

2

，
∴CH=CM-HM=

13

2

-

5

2

=4，
∴C点坐标为（6，-4）；
（3）不存在．理由如下：
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，5），C（6，-4）代入得

b=5 6k+b=-4

，
解得

k=- 3 2 b=5

，
∴直线BC的解析式为y=-

3

2

x+5，
当y=0时，-

3

2

x+5=0，解得x=

10

3

，
则D点坐标为（

10

3

，0），
∴OD=

10

3

，AD=OA-OD=

26

3

，
∴设P点坐标为（x，y），
∵S_△POD=S_△ABD，
∴

1

2

•

10

3

•|y|=

1

2

•

26

3

•5，解得y=13或-13，
∵⊙M的直径为13，
∴⊙M上不存在点P，使其纵坐标为13；
（4）存在．
连结AC，CM的延长线交OA于H，如图2，
∵△COB∽△CDO，
∴∠4=∠5，
而∠5+∠3=90°，∠4+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
∵∠3=∠2，
∴∠1=∠2，
∴

OC

=

AC

，
∴MC⊥OA，
∴OH=AH=

1

2

OA=6，
而MH=

5

2

，
∴CH=CM+MH=9，
∴C点坐标为（6，9）．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．会利用待定系数法求一次函数解析式，利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．