Question

5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是$\widehat{ABC}$的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G．
（1）找出图中相等的线段；
（2）在图中过点E作⊙O的切线EM，交AC的延长线于点M，试问：是否又有相等的线段？并证明．

Answer 1

分析 （1）连接EC，图中相等的应该有半径AO=OB，根据垂径定理即可证明图中应该还有4对相等的线段，所以可得有5对相等线段；
（2）可通过角的关系来判断边的关系，根据EM是圆O的切线，如果我们连接AD、AE，那么∠GEM=∠EAD，现在的关键是证明∠MGE=∠EAD，因为∠MGE=∠EAG+∠DEA，∠DAE=∠EAG+∠DAG，如果要得出∠DAG=∠DEA的话，就能得出∠MGE=∠MEG的结论，而题中告诉了于=，因此这两个角就相等了．由此便可根据等角对等边来得出ME=MG．

解答 解：（1）AO=OB，DF=EF，AC=DE，AG=DG，CG=GE；

（2）ME=MG成立，
证明：连接AD、AE，
∵$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴∠DEA=∠CAD，
∵∠EGM=∠DEA+∠EAM，
∴∠EGM=∠EAM+∠CAD=∠EAD；
∵EM是⊙O的切线，
∴∠GEM=∠EAD，
∴∠EGM=∠GEM，
∴ME=MG．

点评 本题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，垂径定理等知识点的综合应用，根据圆周角得出弧相等进而得出相关的角相等是解题的关键．