Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）²[1+x]=（1+x）³。
（1）上述分解因式的方法是（    ），共应用了（    ）次；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹⁰，则需要应用上述方法（    ）次，分解因式后的结果是（    ）；
（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n为正整数），必须有简要的过程。

Answer 1

解：（1）提取公因式；2；
（2）2010；（1+x）²⁰¹¹；
（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）^（n﹣1）]
=（1+x）²[1+x+x（1+x）x（1+x）^（n﹣2）]
=（1+x）ⁿ⁺¹。