Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）²（1+x）=（1+x）³
（1）上述因式分解得方法是

提取公因式

法，共应用了

2

次，
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹²，则需要应用上述方法

2012

次，分解因式后的结果是

（1+x）²⁰¹³

．（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ，（其中n为正整数），必须有具体过程．
解：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ
=

Answer 1

分析：（1）把（1+x）看作整体，提取公因式，观察得出提取公因式的次数；
（2）根据（1）得出提取公因式的次数及结果；
（3）根据（1）（2）算式最后一项的次数，得出提取公因式的次数及结果的次数．

解答：解：（1）由因式分解的过程可知，因式分解的方法是提取公因式法，提取了2次，
故答案为：提取公因式，2；

（2）（1）的算式最后一项（1+x）的次数为2，结果的次数为3，
故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰¹²，需要提公因式2012次，结果为（x+1）²⁰¹³，
故答案为：2012，（x+1）²⁰¹³；

（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ=（1+x）[1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）^n-1]
=（1+x）²[1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）^n-2]
=（1+x）ⁿ⁺¹．

点评：本题考查了因式分解的方法-提取公因式法．关键是通过连续提公因式，得出提公因式的次数，结果的次数的关系．