Question

如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是弧AC上的一点（点P不与A，C重合），连结PC，PD，PA，AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：
①CH²=AH•BH；②弧BC=弧BD；③△ADP∽△FDA；④∠ADC=∠APD．
其中正确的有（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：连接AC和BC，根据垂径定理求出DH=CH，推出AC=AD，根据圆周角定理和等腰三角形性质求出∠APD=∠ACD=∠ADC，即可推出答案．

解答：解：连接BC，AC，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CH=DH，弧BC=弧BD，∠AHC=∠AHD=90°，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠APD=∠ACD，
∴∠ADC=∠APD，
∵∠DAB=∠BCD，∠AHD=∠CHB，
∴△DAH∽△BCH，
∴

AH

CH

=

DH

BH

，
∴CH•DH=AH•BH，
∴CH²=AH•BH，
∴①②④正确；
∵∠APD和∠BAD根据已知不能推出相等，
∴△ADP和△ADF相似是错误的，∴③错误；
故选B．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，难度适中．