题目内容
如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．①求证：△ADE∽△BCE；
②如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．
考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理
专题：
分析：①根据圆周角定理求出∠A=∠B，根据相似三角形的判定推出即可；
②证△ADE∽△ACD，推出∠AED=∠ADC=90°，根据垂径定理推出即可．
②证△ADE∽△ACD，推出∠AED=∠ADC=90°，根据垂径定理推出即可．
解答：证明：①∵弧CD=弧CD，
∴∠A=∠B，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE；
②∵AD2=AE•AC，
∴
=
，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即有∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴CD=CB．
∴∠A=∠B，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△ADE∽△BCE；
②∵AD2=AE•AC，
∴
| AE |
| AD |
| AD |
| AC |
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即有∠AED=90°，
∴直径AC⊥BD，
∴CD=CB．
点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，垂径定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是弧AC上的一点（点P不与A，C重合），连结PC，PD，PA，AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：