Question

15．如图，已知点A在函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）图象上，过点A作AB∥x轴，且AB交直线y=x于点B，交y轴正半轴于点C．若AB²-AO²=4，则k=-2．

Answer 1

分析 由点A在反比例函数图象上，设出点A的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），用含m、k的代数式表示出点B的坐标，再由两点间的距离公式表示出来AB²和AO²，两者做差，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）图象上，
∴设点A的坐标为（m，$\frac{k}{m}$），
将$\frac{k}{m}$代入到y=x中，得：y=$\frac{k}{m}$，
∴点B的坐标为（$\frac{k}{m}$，$\frac{k}{m}$）．
∵点A（m，$\frac{k}{m}$），点B（$\frac{k}{m}$，$\frac{k}{m}$），点O（0，0），
∴AB²=$（\frac{k}{m}-m）^{2}$，AO²=m²+$（\frac{k}{m}）^{2}$．
∵AB²-AO²=4，
∴$（\frac{k}{m}-m）^{2}$-m²+$（\frac{k}{m}）^{2}$=4，即-2k=4，
解得：k=-2．
故答案为-2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及解一元一次方程，解题的关键是根据AB²-AO²=4找出关于k的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，根据两点间的距离公式结合已知条件找出关于反比例函数系数k的方程是关键．