Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠C=120°
（1）求证：AD=BC；
（2）若CD=2cm，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质可得出∠CDB=∠CDB=30°，进而根据AB∥CD可得出∠ABC=60°，∠A=60°，这样即可判断四边形ABCD是等腰梯形，也就得出了AD=BC．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，在RT△ADB中，可求出AB、DE的长度，进而利用梯形的面积公式可得出梯形ABCD的面积．

解答：（1）证明：∵BC=CD，∠C=120°
∴∠CDB=∠CBD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB=30°，
∴∠A=60°，∠CBA=60°，
故可得BC=AD．

（2）解：过点D作DE⊥AB于点E，
在RT△ABD中，∠ABD=30°，
∴AB=2AD=4cm，
在RT△ADE中，∠A=60°，
∴AE=

1

2

AD=1cm，DE=

AD2-AE2

=

3

cm，
∴S_{梯形ABCD的面积}=

1

2

（CD+AB）×DE=3

3

cm²．

点评：此题考查了梯形及勾股定理的知识，第一问的证明关键是利用等腰三角形及平行线的性质，第二问的求解关键是在直角三角形中熟练运用三角函数及勾股定理，难度一般．