Question

3．两个全等的△ABC和△EDA如图放置（∠ABC=∠EDA＜90°，BC=DA），点B、A、D在同一条直线上，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF于点F，连接CE，则BF⊥CE，BF=$\frac{1}{2}$CE成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 结论：BF⊥CE成立，BF=$\frac{1}{2}$CE不成立．只要证明四边形DECH是平行四边形即可解决问题．当△BFD是等腰直角三角形时，BF=$\frac{1}{2}$DH，即BF=$\frac{1}{2}$CE，显然题目不满足条件．

解答 解：结论：BF⊥CE成立，BF=$\frac{1}{2}$CE不成立．理由如下：
如图延长BC交DF的延长线于H．
∵∠BAC=∠EDA，
∴BH∥DE，
∵△ABC≌△EDA，
∴BC=AD，AB=DE，
在△BFH和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBH=∠FBD}\\{∠BFH=∠BFD}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFH≌△BFD，
∴BH=BD，
∴BA+AD=BC+CH，
∵BC=AD，
∴AB=CH=DE，
∴四边形DECH是平行四边形，
∵BF⊥DH，
∴BF⊥CE．
∵△BFH≌△BFD，
∴FH=FD，
∴BF是△BDH的中线，
∴当∠HBD=90°时，BF=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{2}$CE，
显然题目不满足这个条件，
故BF=$\frac{1}{2}$CE不成立．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．