Question

13．如图，点H，F分别在菱形ABCD的边AD，BC上，点E，G分别在BA，DC的延长线上．且AE=AH=CG=CF．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．
（2）写出△AEH和四边形EFGH的面积之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明△DHG≌△BFE，推出HG=EF，∠DHG=∠BFE，由BC∥AD，推出∠BFE=∠DKF，推出∠DHG=∠DKG，推出HG∥EF，即可证明．
（2）如图2中，结论：S_△AEH=S_△EHO=$\frac{1}{4}$S_{四边形EFGH}．首先证明HF、AC、EG互相平分，相交于点O，再证明EH∥AC即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，设EF交AD于K．

∵四边形ABCD是菱形，
∠D=∠B，AB=CD=AD=BC，
∵AE=AH=CG=CF，
∴DH=BF，BE=DG，
在△DHG和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=BF}\\{∠D=∠B}\\{BE=DG}\end{array}\right.$，
∴△DHG≌△BFE，
∴HG=EF，∠DHG=∠BFE，
∵BC∥AD，
∴∠BFE=∠DKF，
∴∠DHG=∠DKG，
∴HG∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）解：结论：S_△AEH=S_△EHO=$\frac{1}{4}$S_{四边形EFGH}．理由如下：
连接HC、AF、HF、AC，HF交AC于O，连接EG．

∵AH=CF，AH∥CF，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AC与HF互相平分，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴HF与EG互相平分，
∴HF、AC、EG互相平分，相交于点O，
∵AE=AH，DA=DC，BE∥DC，
∴∠EAH=∠D，
∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA，
∴EH∥AC，
∴S_△AEH=S_△EHO=$\frac{1}{4}$S_{四边形EFGH}．

点评 本题考查菱形的性质．平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，第二个问题的关键是证明EH∥AC，属于中考常考题型．