Question

1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴，y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA，OB的长分别是一元二次方程x²-14x+48=0的两个根，线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，分别交x轴，y轴于点D，E．
（1）直接写出点A、B的坐标：A（6，0），B（0，8）；
（2）求线段AD的长；
（3）已知P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点，则在坐标平面内是否存在点M，使得以点C、P、Q、M为顶点的四边形是以5为边长的正方形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；
（2）只要证明△ACD∽△AOB，得到$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AO}$，由此即可求出AD．
（3）以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：①当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+8，设M（x，$\frac{3}{4}$x+8），再根据BM=5列出方程（$\frac{3}{4}$x+8-8）²+x²=5²，解方程即可求出M的坐标．②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，设M（x，$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$），再根据BM=5列出方程（$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$）²+（x-6）²=5²，解方程即可求出M的坐标．

解答 解：（1）解方程x²-14x+48=0，
得x₁=6，x₂=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
故答案为（6，0），（0，8）．

（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ACD与△AOB中，
∵∠CAD=∠OAB，∠ACD=∠AOB=90°，
∴△ACD∽△AOB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AO}$，即$\frac{AD}{10}$=$\frac{5}{6}$，
解得AD=$\frac{25}{3}$，
∵A（6，0），点D在x轴上，
∴D（-$\frac{7}{3}$，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意知C为AB中点，
∴C（3，4），
∵D（-$\frac{7}{3}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-\frac{7}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$；

（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为5，
∵AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：
①当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+8，设M（x，$\frac{3}{4}$x+8），
∵B（0，8），BM=5，
∴（$\frac{3}{4}$x+8-8）²+x²=5²，
化简整理，得x²=16，
解得x=±4，
∴M₂（4，11），M₃（-4，5）；
②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，
设M（x，$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$），
∵A（6，0），AM=5，
∴（$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$）²+（x-6）²=5²，
化简整理，得x²-12x+20=0，
解得x₁=2，x₂=10，
∴M₄（2，-3），M₁（10，3）；
综上所述，所求点M的坐标为M₁（10，3），M₂（4，11），M₃（-4，5），M₄（2，-3）．

点评 本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．