Question

6．设△ABC的内切圆与BC、CA、AB分别切于D、E、F，M、N分别为DE、DF的中点，直线MN与CA交于K．求证：DK∥BE．

Answer 1

分析 连接OB、OC、OD，由切线的性质得出OD⊥BC，由切线长定理和等腰三角形的性质得出得出DF⊥OB，DE⊥OC，由射影定理得出ON•OB=OD²=OM•OC，得出B、C、M、N四点共圆，由圆周角定理得出∠KMC=∠OBC，证明△KMC∽△OCB，得出比例式$\frac{CK}{OC}=\frac{CM}{BC}$，得出$\frac{CK}{CE}=\frac{CK}{OC}•\frac{OC}{CE}=\frac{CM}{BC}•\frac{OC}{CD}$，由射影定理得出CD²=CM•OC，得出比例式，即可得出结论．

解答 证明：连接OB、OC、OD，如图所示：
则OD⊥BC，
由切线长定理得：BD=BF，∠OBD=∠OBF，CD=CE，∠OCD=∠OCE，
∴DF⊥OB，DE⊥OC，
由射影定理得：ON•OB=OD²=OM•OC，
∴B、C、M、N四点共圆，
∴∠KMC=∠OBC，
∵∠KCM=∠OCB，
∴△KMC∽△OCB，
∴$\frac{CK}{OC}=\frac{CM}{BC}$，
∴$\frac{CK}{CE}=\frac{CK}{OC}•\frac{OC}{CE}=\frac{CM}{BC}•\frac{OC}{CD}$，
∵∠ODC=90°，DM⊥OC，
∴CD²=CM•OC，
∴$\frac{CK}{CE}=\frac{CM•OC}{BC•CD}=\frac{CD}{BC}$，
∴DK∥BE．

点评 本题考查了三角形的内切圆、切线的性质、切线长定理、射影定理、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线运用射影定理和三角形相似才能得出结论．