Question

11．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=k•AC，CD⊥AB于D．点P为AB边上一动点，PF⊥BC于F，
（1）如图1，当k=2时，
①过P作PE⊥AC于E，则$\frac{CE}{BF}$=$\frac{1}{2}$；
②如图2，连CP、DF，求$\frac{PC}{DF}$的值；
（2）直接写出当k=$\sqrt{3}$时，$\frac{PC}{DF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）①由已知条件推出四边形EPFC是矩形，根据矩形的性质得到CE=PF，由三角函数的定义得到tan∠B=$\frac{AC}{BC}=\frac{PF}{BF}$，于是得到$\frac{CE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，②设AC=k，BC=2k，由勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$k，根据三角形的面积公式得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$k，推出C，D，P，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFD=∠CPA，推出△ACP∽△CDF，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）设AC=x，BC=$\sqrt{3}$x，由勾股定理得到AB=2x，根据三角形的面积公式得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，即可得到结论．

解答 解：（1）①∵∠ACB=90°，PF⊥BC于F，PE⊥AC于E，
∴四边形EPFC是矩形，
∴CE=PF，
∵tan∠B=$\frac{AC}{BC}=\frac{PF}{BF}$，
∵BC=2AC，
∴$\frac{CE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
②∵BC=k•AC，k=2，
∴设AC=k，BC=2k，∴AB=$\sqrt{5}$k，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$k，
∵CD⊥AB于D，PF⊥BC于F，
∴C，D，P，F四点共圆，
∴∠CFD=∠CPA，
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠DCF，
∴△ACP∽△CDF，
∴$\frac{PC}{DF}$=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{k}{\frac{2\sqrt{5}}{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$；

（2）k=$\sqrt{3}$时，$\frac{PC}{DF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
理由：∵k=$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$AC，
设AC=x，BC=$\sqrt{3}$x，
∴AB=2x，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
由（1）证得$\frac{PC}{DF}$=$\frac{AC}{CD}$，
∴$\frac{PC}{DF}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．