Question

18．已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁+x₂=3x₁x₂-6，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac的意义得到△≥0，即4（k+1）²-4×1×k²≥0，解不等式即可得到k的范围；
（2）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²，则2（k+1）=3k²-6，即3k²-2k-8=0，利用因式分解法解得k₁=2，k₂=-$\frac{4}{3}$，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值．

解答 解：（1）∵方程x²-2（k+1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△≥0，即4（k+1）²-4×1×k²≥0，解得k≥-$\frac{1}{2}$，
∴k的取值范围为k≥-$\frac{1}{2}$；

（2）∵方程x²-2（k+1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²，
∵x₁+x₂=3x₁x₂-6，
∴2（k+1）=3k²-6，即3k²-2k-8=0，
∴k₁=2，k₂=-$\frac{4}{3}$，
∵k≥-$\frac{1}{2}$，
∴k=2．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．