Question

如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），C是线段AB的中点．请问在x轴上是否存在一点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：以P、A、C为顶点的三角形与△AOB中，∠A是公共角，如果两三角形相似，有两种情况，即P与B，P与O分别对应，因此要分类讨论．

解答：解：存在这样的P点．理由如下：
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是线段AB的中点，
∴AC=5．
①如果P与B对应，那么△PAC∽△BAO，
∴PA：BA=AC：AO，∴AP=

25

4

，
∴OP=OA-AP=

7

4

，∴P（

7

4

，0）．
②或如果P与O对应，那么△PAC∽△OAB；
∴PA：OA=AC：AB，
∴PA=4，
∴OP=OA-AP=4
∴P（4，0）．

点评：本题属于开放性试题，通过对点P位置的判断有利于考查学生的发散思维能力．