Question

16．已知△ABC的两边BC=a，AC=b，且BC、AC边上的两条中线AD、BE互相垂直，则第三边AB的长用a、b来表示是$\frac{\sqrt{5{a}^{2}+5{b}^{2}}}{5}$．

Answer 1

分析 连接DE，证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出由勾股定理得出AO²+EO²=AE²=$\frac{{b}^{2}}{4}$①，BO²+EO²=BD²=$\frac{{a}^{2}}{4}$②，①+②得出AO²+EO²+BO²+EO²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$，得出$\frac{5A{B}^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$，即可得出结果．

解答 解：连接DE，如图所示：
∵AD、BE是中线，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$b，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AD⊥BE，
∴∠AOE=∠AOB=∠BOD=∠DOE=90°，
由勾股定理得：AO²+EO²=AE²=$\frac{{b}^{2}}{4}$①，
BO²+EO²=BD²=$\frac{{a}^{2}}{4}$②，
①+②得：AO²+EO²+BO²+EO²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$，
即$A{B}^{2}+D{E}^{2}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$，
∴$\frac{5A{B}^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{5{a}^{2}+5{b}^{2}}}{5}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{5{a}^{2}+5{b}^{2}}}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．