Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上，射线FO平分∠GFH，过点H的直线MN交x轴于点M，满足∠MHF=∠GHN，过点H作HP⊥MN交x轴于点P，请探究∠MPH与∠G的数量关系，并写出简要证明思路．

Answer 1

分析 先根据EH平分∠GHF，FE平分∠GFH，求得△FEH中，∠FEF=90°+$\frac{1}{2}$∠G，再根据∠FEH是△EOP的外角，求得∠FEH=90°+∠MPH，最后得出结论∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．

解答 解：∠MPH与∠G的数量关系为∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．
证明：如图，∵∠MHF=∠GHN，HP⊥MN，
∴∠FHE=∠GHE，即EH平分∠GHF，
又∵FE平分∠GFH，
∴△FEH中，
∠FEF=180°-∠EHF-∠EFH
=180°-$\frac{1}{2}$（∠GHF-∠GFH）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠G）
=90°+$\frac{1}{2}$∠G，
∵∠FEH是△EOP的外角，
∴∠FEH=∠EOP+∠MPH=90°+∠MPH，
∴90°+$\frac{1}{2}$∠G=90°+∠MPH，
即∠MPH=$\frac{1}{2}$∠G．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．探究角度之间的数量关系，多用外角的性质．