Question

15．如图①，△ABC是等边三角形，D是△ABC内一点，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，连接DE、DC后，可以发现利用旋转变换的不变性，原有的条件发生了转移，使问题得以转化．这种利用“旋转”解决问题的方法在解题中有很多应用，你不妨尝试解决下列问题：
如图②，P为正方形ABCD内一点，若PA=α，PB=2α，PC=3α（a为正数），求∠APB的度数．

Answer 1

分析 已知PA=a，PB=2a，PC=3a，并不在同一个三角形中，因为AB=BC，可将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ，连接PQ，构成两个特殊三角形，可求∠APB的度数；

解答 解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ，如图，
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB，
于是PB=QB=2a，PQ=2$\sqrt{2}$a，
在△PQC中，
∵PC²=9a²，PQ²+QC²=9a²，
∴PC²=PQ²+QC²．
∴∠PQC=90°，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=45°，故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，正确应用旋转的性质是解题关键．