Question

20．如图，抛物线y=ax²+bx-1（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）确定出当△ACP的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可．
（3）作出辅助线，利用tan∠MDN=2或$\frac{1}{2}$，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-1（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-1=0}\\{4a+2b-1=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{8}$），
（2）如图1，

连接BC与抛物线对称轴的交点就是点P，连接AC，AP，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴PA=PB，
∵B（2，0），C（0，-1），
∴直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-1，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴点P的横坐标为$\frac{1}{2}$，
∴点P的纵坐标为-$\frac{3}{4}$，
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
（3）如图2，

过点作NF⊥DM，
∵B（2，0），C（0，-1），
∴OB=2，OC=1，
∴tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，tan∠OCB=$\frac{OB}{OC}$=2，
设点N（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1），
∴FN=|m-$\frac{1}{2}$|，FD=|$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1+$\frac{9}{8}$|=|$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{8}$|，
∵Rt△DNM与Rt△BOC相似，
∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB，
①当∠MDN=∠OBC时，
∴tan∠MDN=$\frac{FN}{FD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|m-\frac{1}{2}|}{|\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{1}{2}m+\frac{1}{8}|}$=$\frac{1}{2}$
∴m=$\frac{1}{2}$（舍）或m=$\frac{9}{2}$或m=-$\frac{7}{2}$，
∴N（$\frac{9}{2}$，$\frac{55}{8}$）或（-$\frac{7}{2}$，$\frac{55}{8}$），
②当∠MDN=∠OCB时，
∴tan∠MDN=$\frac{FN}{FD}$=2，
∴$\frac{|m-\frac{1}{2}|}{|\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{1}{2}m+\frac{1}{8}|}$=2，
∴m=$\frac{1}{2}$（舍）或m=$\frac{3}{2}$或m=-$\frac{1}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{8}$）；
∴符合条件的点N的坐标（$\frac{9}{2}$，$\frac{55}{8}$）或（-$\frac{7}{2}$，$\frac{55}{8}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的对称性，三角函数，三角形周长的计算，绝对值方程，过点N作抛物线对称轴的垂线是解本题的关键也是难点．