在平面直角坐标系中.点A的坐标为是抛物线y=-$\frac{1}{6}$x2-$\frac{3}{2}$上的一个动点．过动点P作PB⊥x轴.垂足为B.连接PA．(1)请通过测量或计算.比较PA与PB的大小关系:PA=PB(直接填写“＞ “＜或“= .不需解题过程),.连接PC.AC.请利用(1)的结论解决下列问题:①△APC的周长是否存在最小值?若存在.求点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-3），点P（m，n）是抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{3}{2}$上的一个动点．过动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA．
（1）请通过测量或计算，比较PA与PB的大小关系：PA=PB（直接填写“＞”“＜”或“=”，不需解题过程）；
（2）点C的坐标为（2，-5），连接PC，AC，请利用（1）的结论解决下列问题：
①△APC的周长是否存在最小值？若存在，求点P的坐标及△APC的周长的最小值；如果不存在，简单说明理由；
②当△APC的面积等于$\frac{3}{2}$时，求PA的长．

分析（1）利用两点间的距离公式证明即可；
（2）①先确定出点P在过点C垂直于x轴和抛物线的交点，利用（1）的结论求出即可
②先用三角形的面积求出过P的直线解析式，从而求出点P坐标，利用（1）的结论求出即可

解答解：（1）∵点P（m，n），PB⊥x轴，垂足为B，
∴PB=|n|=-n，
∵点P（m，n）是抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{3}{2}$上的一个动点，
∴n=-$\frac{1}{6}$m²-$\frac{3}{2}$，
∴m²=-6n-9，
∵A（0，-3），P（m，n）
∴PA=$\sqrt{{m}^{2}+（n+3）^{2}}$=$\sqrt{-6n-9+{n}^{2}+6n+9}$=$\sqrt{{n}^{2}}$=|n|=-n，
∴PA=PB，
故答案为：=
（2）①存在，
如图，作CD⊥x轴，

∵A（0，-3），C（2，-5），
∴AC=2$\sqrt{2}$，CD=5，
∴△APC的周长=AC+PC+PA=2$\sqrt{2}$+PC+PA
∵△APC的周长最小，
∴PC+PA最小，
由（1）有，点P到x轴的距离等于点P到点A的距离，
∴点P在CD上，
∴PC+PA=CD=5，
∴△APC的周长最小值为2$\sqrt{2}$+5，
∵点P在CD上，
∴m=2，
∴n=-$\frac{1}{6}$m²-$\frac{3}{2}$=-$\frac{13}{6}$，
∴P（2，-$\frac{13}{6}$），
②如图，

过点C作CE⊥y轴，
∴CE=2，
∵A（0，-3），E（0，-5），
∴AE=2，
∴∠CAE=45°
将AC平移向上平移，交y轴于F，
过点F作FD⊥AC于D，
∴∠DAF=45°，
在Rt△ADF中，sin∠DAF=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AF=$\sqrt{2}$DF，
∵AC=2$\sqrt{2}$，△APC的面积等于$\frac{3}{2}$，
∴点P到直线AC的距离h=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴AF=$\sqrt{2}$h=$\frac{3}{2}$，
∵A（0，-3），C（2，-5），
∴直线AC解析式为y=-x-3，
∴过点P平行于AC的直线l解析式为y=-x-3-$\frac{3}{2}$①或y=-x-3+$\frac{3}{2}$②
∵抛物线解析式为y=-$\frac{1}{6}$x²-$\frac{3}{2}$③，
联立①③，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=3+3\sqrt{3}}\\{y=-（\frac{15}{2}-3\sqrt{3}）}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=3-3\sqrt{3}}\\{y=\frac{15}{2}+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x=3-3\sqrt{3}}\\{y=-（\frac{15}{2}+3\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，
由（1）结论，得，PA=-y=$\frac{15}{2}$-3$\sqrt{3}$或$\frac{15}{2}$+3$\sqrt{3}$，
联立②③，解方程组得y=-$\frac{3}{2}$或y=-$\frac{15}{2}$，
∴PA=$\frac{3}{2}$或$\frac{15}{2}$；
即：PA的长为$\frac{15}{2}$-3$\sqrt{3}$或$\frac{15}{2}$+3$\sqrt{3}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{15}{2}$．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了两点间的距离公式，图象的交点坐标的确定方法，面积的计算，解本题的关键是会用（1）的结论解决问题．

	A．	a（x+y）=ax+ay		B．	x²-4x+4=（x-2）²
	C．	2a-4b+2=2（a-2b）		D．	x²-16+3x=（x-4）（x+4）+3x

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