Question

4．如图△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P₂₀₁₅A₂₀₁₄A₂₀₁₅是等腰直角三角形，点P₁，P₂，P₃，…都在函数$y=\frac{4}{x}$（x＞0）x的图象上，斜边OA₁，A₁A₂，A₂A₃，…A₂₀₁₄A₂₀₁₅都在x轴上，则A₂₀₁₅的坐标为（4$\sqrt{2015}$，0）．

Answer 1

分析 首先根据等腰直角三角形的性质，知点P₁的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点P₁的坐标是（2，2），则根据等腰三角形的三线合一求得点A₁的坐标；同样根据等腰直角三角形的性质、点A₁的坐标和双曲线的解析式求得A₂点的坐标．根据A₁、A₂点的坐标特征即可推而广之得到A_n点的坐标．

解答 解：（1）可设点P₁（x，y），
根据等腰直角三角形的性质可得：x=y，
又∵$y=\frac{4}{x}$，
则x²=4，
∴x=±2（负值舍去），
再根据等腰三角形的三线合一，得A₁的坐标是（4，0），
设点P₂的坐标是（4+y，y），
又∵$y=\frac{4}{x}$，则y（4+y）=4，即y²+4y-4=0
解得，y₁=-2+2$\sqrt{2}$，y₂=-2-2$\sqrt{2}$，
∵y＞0，
∴y=2$\sqrt{2}$-2，
再根据等腰三角形的三线合一，得A₂的坐标是（4$\sqrt{2}$，0）；
同理得到：点A₃的坐标是（4$\sqrt{3}$，0），
…
则A_n点的坐标是（4$\sqrt{n}$，0）．
∴A₂₀₁₅的坐标为 （4$\sqrt{2015}$，0）．
故答案是：（4$\sqrt{2015}$，0）．

点评 本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．