Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（点D不与点A、B重合），连接CD，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．当△ADE为等腰三角形时，AD的长度为1或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①当点E在AC上时，AE=AD，则∠EDA=∠BAC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BC=$\frac{1}{2}$AB=1，∠B=60°，得出AC=$\sqrt{3}$，∠BCD=60°，证出△BCD是等边三角形，得出CD=BC=1，AD=CD=1；
②当点E在射线CA上时，AE=AD，得出∠E=∠ADE=15°，由三角形内角和定理得出∠ACD=∠CDA，由等角对等边得出AD=AC=$\sqrt{3}$；即可得出结果．

解答 解：分两种情况：①当点E在AC上时，AE=AD，
∴∠EDA=∠BAC=30°，
∵DE⊥CD，
∴∠BDC=60°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=1，∠B=60°，
∴AC=$\sqrt{3}$，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，∠DCA=30°=∠BAC，
∴CD=BC=1，AD=CD=1；
②当点E在射线CA上时，如图所示：
AE=AD，
∴∠E=∠ADE=15°，
∵DE⊥CD，
∴∠CDA=90°-15°=75°，
∴∠ACD=180°-30°-75°=75°=∠CDA，
∴AD=AC=$\sqrt{3}$；
综上所述：AD的长度为1或$\sqrt{3}$；
故答案为：1或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．