Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，以AD为直径的⊙O与AB、AC两边分别交于点E、F，连接DE、DF．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AD=2$\sqrt{5}$，AE=4，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形“三合一”的性质推知∠1=∠2．由“直径所对的圆周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．则根据角平分线的性质证得结论；
（2）在直角△AED中利用勾股定理求得DE的长度，得出∠BAD=30°，利用勾股定理求得BD，进一步求得BC即可．

解答 （1）证明：如图，

∵在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的高，
∴∠1=∠2，BD=CD．
又∵AD为直径，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴△BDE≌△CDF，
∴BE=CF；

（2）解：∵AD=2$\sqrt{5}$，AE=4，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=2，
∴∠BAD=30°，
∵AB=AC，AD为△ABC的高，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，BD=CD，
∵AB²-BD²=AD²，
∴BD=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∴BC=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$．

点评 此题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一和勾股定理是解决问题的关键．