Question

如图，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）求证：AP+HC=PH；

（3）当AP=1时，求PH的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3．4．

【解析】（1）∵PE=BE，∴∠EPB=∠EBP，又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）过B作BQ⊥PH，垂足为Q，

由（1）知，∠APB=∠BPH，在△ABP与△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH与Rt△BQH中，，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，∴AP+HC=PH．

（3）由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．设QH=HC=x，则DH=4-x．在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，

即3²+（4-x）²=（x+1）²，解得x=2．4，∴PH=3．4．