Question

如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．∠BAC=60°，∠DAE=120°．
（1）求证：BC²=BD•CE．
（2）求y关于x的函数关系式．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出△ABC是等边三角形，求出∠ABD=∠ACE=120°，求出∠D=∠CAE，推出△DBA∽△ACE，得出比例式，即可得出答案；
（2）根据BC²=BD×CE代入求出即可．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠CAE=60°
∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AB=AC=1，
∴∠ABD=∠ACE=180°-60°=120°，
∴∠D+∠DAB=180°-120°=60°，
∵∠BAC=60°，∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∴∠D=∠CAE，
∴△DBA∽△ACE，
∴

BD

AC

=

AB

CE

，
∵AB=BC=AC，
∴BC²=BD×CE；

（2）解：∵BC²=BD×CE，BC=1，BD=x，CE=y，
∴xy=1，
∴y=

1

x

，
即y关于x的函数关系式是y=

1

x

．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数等知识点的应用，解此题的关键是求出△DBA∽△ACE．