Question

已知：如图①，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，直线EF经过点A，且与BD平行，点O是AC上一动点 以O为圆心，OA为半径画圆．

（1）直线EF与⊙O相切吗？请说明理由；
（2）如图②，当⊙O与BC相切于点N时 求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）由正方形的性质可以得出∠MBA=∠MAB=45°，由BD∥EF就可以得出∠DBA=∠BAF=45°，就可以得出∠MAF=90°，进而得出结论；
（2）连结ON，就可以得出ON⊥BC，得出∠CNO=90°，由正方形的性质就可以得出∠ABC=90°，进而得出ON∥AB，就有△CON∽△CAB，就有

ON

AB

=

CO

AC

，设⊙O的半径为x，就有ON=AO=x，由勾股定理就可以得出AC=

2

，进而代入比例式就可以求出结论．

解答：解：（1）EF与⊙O相切．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBA=∠MAB=45°．
∵BD∥EF，
∴∠DBA=∠BAF，
∴∠BAF=45°，
∴∠CAF=90°，
∴CA⊥EF，
∴直线EF与⊙O相切；
（2）如图2，连结ON．
∵⊙O与BC相切于点N，
∴ON⊥BC，
∴∠CNO=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠CNO=∠ABC，
∴ON∥AB，
∴△CON∽△CAB，
∴

ON

AB

=

CO

AC

．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=

2

．
设⊙O的半径为x，则有ON=AO=x，OC=

2

-x，
∴

x

1

=

2 -x

2

，
解得：x=2-

2

．
答：⊙O的半径为2-

2

．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，平行线的性质的运用，圆的切线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时运用切线的性质求解是关键．