Question

12．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，EG⊥BD，垂足为为G，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD•EF=CD•EG．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得到BO=$\frac{1}{2}$BD，由等量代换推出OE=$\frac{1}{2}$BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，根据△CFE∽△DGE，得到$\frac{EG}{EF}$=$\frac{DE}{CE}$，等量代换得到$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DE}{CE}$，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，
∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD，
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DE}{CE}$，∠BDE=∠DCE，
∵∠DGE=∠CFE，
∴△CFE∽△DGE，
∴$\frac{EG}{EF}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴BD•EF=CD•EG．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．