Question

14．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点E在AD上，且AE=2，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PA的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 连接AC、CE，交BD于P，根据菱形的性质，A、C关于直线BD对称，得出PA=PC，则PA+PE=PC+PE=CE，根据两点之间线段最短，则CE就是PE+PA的最小值，作CF⊥AD于F，求得CF、EF的长，根据勾股定理即可求得．

解答 解：连接AC、CE，交BD于P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴PA=PC，
∴PA+PE=PC+PE=CE，
根据两点之间线段最短，则CE就是PE+PA的最小值，
作CF⊥AD于F，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，
∴△ACD是等边三角形，CF=sin60°•AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$AD=3，CF=sin60°•AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=3$\sqrt{3}$，
∵AE=2，
∴EF=1，
在RT△ECF中，CE=$\sqrt{E{F}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴PE+PA的最小值为2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，解直角三角形以及勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．