Question

2．如图，点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求∠EDC的度数；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

Answer 1

分析 （1）证明△ACD≌△BCD即可解题；
（2）连接CM，先证明CM=CD，即可证明△BCD≌△ECM，即可解题．

解答 （1）解：∵AC=BC，∠CAD=∠CBD，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD，
在△ACD和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠CAD=∠CBD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=60°；
（2）证明：连接CM，

∵DC=DM，∠CDE=60°，
∴△DMC为等边三角形，
∴∠MCE=45°，
∴CM=CD，
在△BCD和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CM}\\{∠BCD=∠ECM}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ECM（SAS），
∴ME=BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及等腰直角三角形，线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．