Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，DA与⊙O相切于点A，DA=DC=

3

．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠CAB=30°，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OC，证明OC⊥DC，即可得到DC是⊙O的切线；
（2）根据阴影部分的面积=扇形的面积-△BOC的面积计算即可．

解答：（1）证明：连接OC，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DA与⊙O相切于点A，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAC+∠CAB=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DCA+∠ACO=90°，
即OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）∵阴影部分的面积=扇形的面积-△BOC的面积，
∴阴影部分的面积=

60•π×1

360

-

1

2

×1×

3

2

=

1

6

π-

3

4

．

点评：本题考查了切线的判定和性质以及三角形的面积公式、扇形的面积公式的运用，是中考常见题型．