Question

4．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°．BC=AC．BD是∠ABC的角平分线，AE⊥BD，求证：BD=2AE．

Answer 1

分析 延长AE和BC交于F，根据角平分线的性质得到∠ABE=∠DBC，由垂直的定义得到∠BCD=∠AED=90°，根据全等三角形的性质得到BD=AF，AE=EF，于是得到结论．

解答 证明：延长AE和BC交于F，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACF=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠DBC，
∵AE⊥BE，
∴∠BCD=∠AED=90°，
∵∠BDC=∠ADE，
∴根据三角形内角和定理得：∠EAD=∠CBD，
在△BCD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CAF}\\{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF，
在△ABE和△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠BEA=∠BEF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
即AF=2AE，
∴BE=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BD=AF和 AE=EF，题目比较好，难度适中．