Question

4．如图①，AB是⊙O的一条弦，点C是优弧$\widehat{AmB}$上一点．
（1）若∠ACB=45°，点P是⊙O上一点（不与A、B重合），则∠APB=45°或135°；
（2）如图②，若点P是弦AB与$\widehat{AmB}$所围成的弓形区域（不含弦AB与$\widehat{AmB}$）内一点．求证：∠APB＞∠ACB；
（3）请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与$\widehat{AmB}$所围成的弓形区域内满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知，存在两种情况，针对两种情况，可以画出相应的图形，由题目中的信息和同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，可以分别求得两种情况下∠APB的度数，本题得以解决；
（2）根据题意画出相应的图形，根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，可以证明结论成立，本题得以解决；
（3）根据题意和第（2）问，可以画出满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围，本题得以解决．

解答 （1）解：如右图①所示，
根据题意可分两种情况，
第一种情况，当点P在P₁时，
可知，∠AP₁B=∠ACB=45°；
第二种情况，当点P在P₂时，
∵四边形ACBP₂是圆内接四边形，
∴∠AP₂B+∠ACB=180°，
∵∠ACB=45°，
∴∠AP₂B=135°，
故答案为：45°或135°；                
（2）证明：如下图②所示，延长AP交⊙O于点Q，连接BQ．
则∠PQB=∠ACB，
∵∠APB为△PQB的一个外角，
∴∠APB＞∠PQB，
即∠APB＞∠ACB；    
（3）点P所在的范围如下图③所示，

点评 本题考查圆的综合题、同弧所对的圆周角的关系、圆内接四边形对角的关系、三角形的外角和内角的关系，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．