Question

若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a²⁰¹²-c²⁰¹²）（a²⁰¹²-d²⁰¹²）=2012，（b²⁰¹²-c²⁰¹²）（b²⁰¹²-d²⁰¹²）=2012，则（ab）²⁰¹²-（cd）²⁰¹²的值为（　　）

• A、-2012
• B、-2011
• C、2012
• D、2011

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：根据题意可将a²⁰¹²与b²⁰¹²看做方程（x-c²⁰¹²）（x-d²⁰¹²）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x₁x₂，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x₁x₂，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．

解答：解：设a²⁰¹²与b²⁰¹²看做方程（x-c²⁰¹²）（x-d²⁰¹²）=2012的两个解，
方程整理得：x²-（c²⁰¹²+d²⁰¹²）x+（cd）²⁰¹²-2012=0，
则（ab）²⁰¹²-（cd）²⁰¹²=x1x2-(cd)2012，
又x₁x₂=（cd）²⁰¹²-2012，
则（ab）²⁰¹²-（cd）²⁰¹²=x1x2-(cd)2012=（cd）²⁰¹²-2012-（cd）²⁰¹²=-2012．
故选A．

点评：此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有解，即b²-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．