Question

18．（1）计算：
（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：
（a-1）（a²⁰¹⁷+a²⁰¹⁶+a²⁰¹⁵+a²⁰¹⁴+…+a²+a+1）=a²⁰¹⁸-1；
（3）利用上面的结论，求下列各式的值．
①2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2²+2+1
②5²⁰¹⁷+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁴+…+5²+5+1．

Answer 1

分析 （1）各式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，确定出所求即可；
（3）各式变形后，利用得出的结论计算即可得到结果．

解答 解：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
故答案为：a²-1；a³-1；a⁴-1；
（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：
（a-1）（a²⁰¹⁷+a²⁰¹⁶+a²⁰¹⁵+a²⁰¹⁴+…+a²+a+1）=a²⁰¹⁸-1；
故答案为：a²⁰¹⁸-1；
（3）理利用上面的结论，求下列各式的值．
①2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2²+2+1=（2-1）×（2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2²+2+1）=2²⁰¹⁸-1；
②5²⁰¹⁷+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁴+…+5²+5+1=$\frac{1}{4}$（5-1）×（5²⁰¹⁷+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁴+…+5²+5+1）=$\frac{1}{4}$×（5²⁰¹⁸-1）．

点评 此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．