Question

13．如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．
（1）若∠C=40°，则∠BAM=130°；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C=∠DEB，求∠DEB的度数．

Answer 1

分析 （1）过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，再由平行线的性质即可得出结论；
（2）过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF=180°，再由BD⊥AM，AB⊥BC可得出∠ABD=∠CBF，再由平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠DEB=x°，由（2）可得∠ABD=∠C，由∠C=∠DEB可得出∠ABD=∠C=∠DEB=x°，过点B作BF∥DM，根据平行线的性质可得出∠DBC=∠ABC+∠ABD=90°+x°．再由BE平分∠DBC可知∠DBC=2∠CBE=4x°，据此可得出x的值．

解答 （1）解：过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，
∵BE∥NC，∠C=40°，
∴∠CBE=∠C=40°．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°-40°=50°．
∵AM∥BE，
∴∠BAM+∠ABE=18°，
∴∠BAM=180°-50°=130°．
故答案为：130°； 

（2）证明：如图2，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF=180°．
∵BD⊥AM，
∴∠ADB=90°．
∴∠DBF=90°，∠ABD+∠ABF=90°．
又∵AB⊥BC，
∴∠CBF+∠ABF=90°．
∴∠ABD=∠CBF． 
∵AM∥CN，
∴BF∥CN，
∴∠C=∠CBF．
∴∠ABD=∠C．  

（3）解：设∠DEB=x°，由（2）可得∠ABD=∠C，
∵∠C=∠DEB，
∴∠ABD=∠C=∠DEB=x°．  
过点B作BF∥DM，如图3，
∴∠DEB=∠EBF，∠C=∠FBC．
∴∠CBE=∠EBF+∠FBC=∠DEB+∠C=2x°．
∵∠DBC=∠ABC+∠ABD=90°+x°．
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBC=2∠CBE=4x°，即4x=90+x，解得x=30．
∴∠DEB的度数为30°．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键．