Question

1．如图，⊙O中，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，D为$\widehat{AB}$上任意一点，若cos∠BDC=$\frac{3}{4}$，求tan∠ADC的值．

Answer 1

分析 连接BO并延长交⊙O与点E，连接EC，知∠BDC=∠BEC、∠BCE=90°，可得cos∠BDC=cos∠BEC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，设EC=3x、BE=4x得BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$x，连接AO并延长交BC于点F，知∠ABC=∠ACB=∠ADC、∠AFB=∠AFC=90°，求得BF=CF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x、OF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{3}{2}$x，即可得答案．

解答 解：如图，连接BO并延长交⊙O与点E，连接EC，

则∠BDC=∠BEC，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BCE=90°，
∴cos∠BDC=cos∠BEC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，
设EC=3x，则BE=4x，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$x，
连接AO并延长交BC于点F，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
则BF=CF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$x，
∵BO=EO，
∴OF为△BEC的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{3}{2}$x，
∴AF=AO+OF=$\frac{7}{2}$x，
则tan∠ADC=tan∠ACF=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{\frac{7}{2}x}{\frac{\sqrt{7}}{2}x}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质及中位线定理、三角函数的定义，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．