Question

10．对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（$a+\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”． 例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+$\frac{4}{2}$，2×1+4），即P′（3，6）．
（1）点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标为（-2，-4）；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且△OPP′为等腰直角三角形，求k的值；
（3）已知点Q为二次函数$y={x^2}+4\sqrt{3}x+16$图象上的一动点，点A在函数$y=-\frac{{4\sqrt{3}}}{x}$（x＜0）的图象上，且点A是点B的“$-\sqrt{3}$属派生点”，当线段B Q最短时，求Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据“k属派生点”的定义即可直接求解；
（2）首先利用k表示出P'的坐标，根据△OPP′为等腰直角三角形，确定P'的坐标，然后根据横坐标求得对应的k的值，然后代入纵坐标进行检验即可；
（3）设B（a，b）根据派生点的定义表示出A的坐标，代入反比例函数$y=-\frac{{4\sqrt{3}}}{x}$的解析式即可得到a和b的关系，然后根据点Q在直线$y={x^2}+4\sqrt{3}x+16$图象上，以及线段BQ最短，即可求得．

解答 解：（1）P（-1，-2）的“2属派生点”是（-1+$\frac{-2}{2}$，-2×1-2）即（-2，-4），
故答案是：（-2，-4）；   
（2）P的“k属派生点”为P'点的坐标是（-1-$\frac{2}{k}$，-k-2），
当P'在第四象限，且OP=OP'时，P'的坐标是（2，-1），-1-$\frac{2}{k}$=2，解得：k=-$\frac{2}{3}$，此时-k-2=-$\frac{4}{3}$时，不符合条件；
当P'在第二象限时，P'的坐标是（-2，1），若-1-$\frac{2}{k}$=-2，解得：k=2，此时-k-2=-4≠1，故不符合条件；
当P是直角顶点时，若OP=PP'，此时P'即把（2，-1）左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则P'的坐标是（1，-3）．
则当-1-$\frac{2}{k}$=1时，k=-1，此时-k-2=-3，满足条件；
同理，当P的坐标是（-3，-1），若-1-$\frac{2}{k}$=-3时，k=1，此时-k-2=-1，此时满足条件．
总之，k=±1；
（3）设B（a，b），
∵B的“$-\sqrt{3}$属派生点”是A，
∴A（$a-\frac{b}{{\sqrt{3}}}$，$-\sqrt{3}a+b$）
∵点A还在反比例函数$y=-\frac{{4\sqrt{3}}}{x}$的图象上，
∴$（a-\frac{b}{{\sqrt{3}}}）（-\sqrt{3}a+b）=-4\sqrt{3}$．
∴${（b-\sqrt{3}a）^2}=12$．
∵$b-\sqrt{3}a＞0$，
∴$b-\sqrt{3}a=2\sqrt{3}$．
∴$b=\sqrt{3}a+2\sqrt{3}$．
∴B在直线l：$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$上．
设直线l的平行线为$y=\sqrt{3}x+m$①
∵点Q在直线$y={x^2}+4\sqrt{3}x+16$②图象上
联立①②得${x^2}+3\sqrt{3}x+（16-m）=0$，
由题意△=0 ${x_1}={x_2}=-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$时BQ最短，
此时点Q的坐标为$（-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{19}{4}）$．

点评 本题考查了反比例函数与二次函数的综合应用，正确理解题目中的新的定义，以及PQ最短的条件是关键．