Question

7．如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD=2，联结CD交AH于点E．
（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；
（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；
（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，由DG∥BC得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DG}{BH}$=$\frac{DG}{HC}$=$\frac{ED}{EC}$=$\frac{EG}{EH}$=$\frac{1}{3}$，设EG=a，则EH=3a，列出方程即可解决．
（2）关键两个圆内切、外切半径之间的关系，先求出PH，设BP=x，根据AH²=AB²-BH²=AP²-PH²列出方程即可解决问题．
（3）如图3中过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，根据AD²-AG²=DF²-FG²程即求出t与x的关系，再利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，
∵AH⊥BC，AB=AC
∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH，
∴DG∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DG}{BH}$=$\frac{DG}{HC}$=$\frac{ED}{EC}$=$\frac{EG}{EH}$=$\frac{1}{3}$，设EG=a，则EH=3a，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AG}{GH}$=$\frac{1}{2}$，
∴AG=2a，AE=3a=2，
∴AH=6a=4．

（2）如图2中，∵点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，CP为半径的圆与⊙A内切，
∴AP=AD+BP，AP=PC-AD，
∴AD+BP=PC-AD，
∴PC-BP=2AD=4，
∴PH+HC-（BH-PH）=4，
∴PH=2，
∵AH²=AB²-BH²=AP²-PH²，设BP=x，
∴6²-（x+2）²=（x+2）²-2²，
∴x=2$\sqrt{5}$-2，
∴BC=2BH=2（PB+PH）=4$\sqrt{5}$．

（3）如图3中，过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，
∵AD²-AG²=DF²-FG²，
∴2²-t²=x²-（2-t）²，
∴t=$\frac{8-{x}^{2}}{4}$，
∴y=S_△ABC=18•S_△ADG=18×$\frac{1}{2}$•AG•DG=9•$\frac{8-{x}^{2}}{4}$•$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{8-{x}^{2}}{4}）^{2}}$，
∴y=$\frac{72x-9{x}^{3}}{16}$$\sqrt{16-{x}^{2}}$（0＜x＜2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查圆的有关知识、两圆的位置关系、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是用转化的思想，把问题掌握方程解决，属于中考参考题型．