Question

3．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上，求证：AE²+BE²=2CE²．（多种方法解答）

Answer 1

分析 连结AD，由于△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，那么∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，结合等式性质易证∠1=∠2，那么利用SAS可证△ACD和△BCE，于是可得∠CAD=∠B=45°，易求∠EAD=90°，再利用勾股定理可得AE²+BE²=2CE²．

解答 证明：连结AD，∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
即∠1=∠2，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠1=∠2}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠B=45°，AD=BE，
∴∠EAD=∠DAC+∠CAB=45°+45°=90°，
∴AE²+BE²=AE²+AD²=DE²=2CE²．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是证明△AC口≌△BCE．