Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CG⊥AB于点G，对角线AC⊥BD交于点O，EF是中位线．求证：CG=EF．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,梯形中位线定理

专题：

分析：作CH∥BD，交AB的延长线于H，得出四边形BDCH是平行四边形，同时得出∠ACH=∠AOB=90°，根据等腰梯形的性质得出AC=DB，从而证得AC=CH，证得△ACH是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质即可证得CG=

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AH=

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（AB+BH）=

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2

（AB+DC），根据梯形的中位线定理得出EF=

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2

（AB+DC），从而证得CG=EF．

解答：证明：如图，作CH∥BD，交AB的延长线于H，
∴∠ACH=∠AOB，
∵AC⊥BD，
∴∠ACH=90°，
∵AB∥DC，
∴四边形BDCH是平行四边形，
∴DC=BH，BD=CH，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AC=CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵CG⊥AB，
∴CG是等腰直角三角形ACH斜边的中点，
∴CG=

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AH=

1

2

（AB+BH）=

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2

（AB+DC），
∵EF是中位线．
∴EF=

1

2

（AB+DC），
∴CG=EF．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，梯形的中位线定理等，作出辅助线构建平行四边形是本题的关键．