Question

10．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）当点P与点Q重合时，如图1，写出QE与QF的数量关系，不证明；
（2）当点P在线段AB上且不与点Q重合时，如图2，（1）的结论是否成立？并证明；
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，如图3，此时（1）的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

Answer 1

分析 （1）证△BFQ≌△AEQ即可；
（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；
（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可

解答 解：（1）QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴∠BFQ=∠AEQ=90°，
在△BFQ和△AEQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠BFQ=∠AEQ}\\{∠BQF=∠AQE}\\{BQ-AQ}\end{array}\right.$
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，

（2）（1）中的结论仍然成立，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FBQ=∠DAQ}\\{BQ=AQ}\\{∠BQF=∠AQD}\end{array}\right.$，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是Rt△DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．

（3）（1）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠D}\\{∠2=∠3}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线，
∴QE=QF．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，判断三角形全等是解本题的关键．